Eine der Primäranforderungen, wenn das Beschäftigen Digitalschaltungen, Wege zu finden, sie so einfach zu bilden ist, wie möglich. Dieses erfordert ständig, daß komplizierte logische Ausdrücke auf einfacheren Ausdrücken verringert werden, die dennoch die gleichen Resultate unter allen möglichen Bedingungen produzieren. Der einfachere Ausdruck kann mit einem kleineren, einfacheren Stromkreis dann eingeführt werden, der der Reihe nach den Preis der nicht notwendigen Gatter speichert, die Zahl den Gattern verringert, die benötigt werden, und die Energie und den Platz erfordert durch jene Gatter verringert.

Ein Werkzeug, zum der logischen Ausdrücke zu verringern ist die Mathematik der logischen Ausdrücke, eingeführt von George Boole 1854 und heute bekannt als Boolesche Algebra. Die Richtlinien der Booleschen Algebra sind einfach und Geradeaus und können an jedem logischen Ausdruck zugetroffen werden. Der resultierende verringerte Ausdruck kann mit einer Wahrheit Tabelle dann bereitwillig geprüft werden, um zu überprüfen daß die Verkleinerung gültig war.

Dieses hat eine sehr große Rolle, zum in der abstrakten Algebra zu spielen. Tatsächlich in der abstrakten Algebra, ist Boolesche Algebra ein algebraisches, das wesentliche Eigenschaften von beiden Satzbetrieb und -logikbetriebe gefangennimmt. Spezifisch beschäftigt sie die Satzbetriebe des Durchschnitts, des Anschlußes, der Ergänzung und der Logikbetriebe von UND oder, NICHT.

Wie jedes mögliches Gitter eine Boolesche Algebra (A, \ Land, \ lor) verursacht einen teilweise bestellten Satz (A, ≤) indem sie definiert

ein ≤ b genau wenn a = a \ Land b

(dem auch äquivalent zu b = a \ lor b ist).

Tatsächlich kann man eine Boolesche Algebra auch definieren, um ein verteilendes Gitter mit wenigem Element 0 und größtem Element 1 zu sein, innerhalb deren jedes Element x eine Ergänzung x so daß hat

x \ Land x = 0 und x \ lor x = 1

Hier \ Landwerden und \ lor verwendet, um das infimum (Treffen) und supremum (verbinden), von zwei Elementen zu bezeichnen. Wieder wenn Ergänzungen in der oben genannten Richtung bestehen, dann werden sie einzigartig festgestellt.

Die algebraische und Auftrag theoretische Perspektive kann normalerweise austauschbar verwendet werden und beide sind vom großen Gebrauch, Resultate und Konzepte von der Universalalgebra und von der Auftrag Theorie zu importieren. In vielen praktischen Beispielen sind eine bestellenrelation, ein Zusammenhang, eine Trennung und eine Verneinung alles natürlich vorhandene, damit es direkt ist, dieses Verhältnis auszunutzen. Ein kann allgemeine Einblicke von der Dualität in der Auftrag Theorie an der Booleschen Algebra auch anwenden. Besonders ist der Auftrag, der von jeder Booleschen Algebra oder gleichwertig von der Algebra erhalten wird durch das Wert sein \ Landund \ lor Doppel ist, auch eine Boolesche Algebra. Im allgemeinen kann jedes mögliches Gesetz, das für Boolesche Algebra gültig ist, in ein anderes gültiges, Doppelgesetz umgewandelt werden, indem man 0 mit 1, \ Landmit \ lor und ≤ mit ≥ austauscht.

Die Operatoren der Booleschen Algebra können in den verschiedenen Weisen dargestellt werden. Häufig werden sie einfach wie UND ODER und NICHT geschrieben. Wenn man Stromkreise beschreibt, können NAND (nicht UND) NOCH (nicht ODER) und XOR auch verwendet werden. Mathematiker, Ingenieure und der Programmierer Gebrauch häufig + für ODER und · für UND (da irgendwie jene Betriebe Hinzufügung und Vermehrung in anderen algebraischen Strukturen und in den diese Darstellung Marken es sehr einfach, Summe der Produktform für Leute zu erhalten analog sind, die mit normaler Algebra vertraut sind) und stellen NICHT durch eine Linie dar, die über den Ausdruck gezeichnet wird, der verneint wird. Manchmal das Symbol ~ oder! wird für NICHT verwendet.

Jedes Boolesch Algebra (A, \ Land, \ lor) verursacht Ring (A, +, *) durch definierend a + b = (a \ des Landes b) \ lor (b \ Land a) (dieser Betrieb wird symmetrischen Unterschied im Falle der Sätze und XOR im Falle der Logik genannt) und a * b = a \ Land B. Das nullelement dieses Ringes stimmt mit dem 0 der Booleschen Algebra überein; das multiplikative Identität Element des Ringes ist das 1 der Booleschen Algebra. Dieser Ring hat die Eigenschaft, die a * a = a, für alles a in A; Ringe mit dieser Eigenschaft werden Boolean Ringe genannt.

Andererseits wenn ein Boolescher Ring A gegeben wird, können wir ihn zu eine Boolesche Algebra machen, indem wir x \ lor y = x + y + xy und x \ Land y = xy definieren. Da diese zwei Betriebe Gegenteile von einander sind, können wir und umgekehrt sagen, daß jeder Boolesche Ring aus einer Booleschen Algebra entsteht. Ausserdem ein Diagramm f: Ein → B ist eine Homomorphie der Booleschen Algebra wenn und nur wenn es eine Homomorphie der Booleschen Ringe ist. Die Kategorien der Booleschen Ringe und der Booleschen Algebra sind gleichwertig.

Ein ideales der Booleschen Algebra A ist eine Teilmenge I so, daß für alles x, y innen I wir x \ lor y innen I haben und für alles a in A wir a \ Land x in I. haben. Dieser Begriff von idealem stimmt mit dem Begriff des Ringes ideal im Booleschen Ring A. überein. Ein ideales I von A wird Haupt wenn I ≠ A genannt und wenn a \ Land b innen I immer a innen I oder b in I. andeutet. Ein ideales I von A wird maximal wenn I ≠ A genannt und wenn das einzige ideale richtig enthaltene I A selbst ist. Diese Begriffe stimmen mit Ring die theoretische von idealem und maximalem Hauptidealem im Booleschen Ring A. überein.

Das Doppel von einem idealen ist ein Filter. Ein Filter der Booleschen Algebra A ist eine Teilmenge p so, daß für alles x, y in p wir x \ Land y in p und für alles a in A wenn a \ lor x = ein damaliges a in P. haben.

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