Una delle esigenze fondamentali quando riguardo ai circuiti digitali è di trovare i sensi renderli semplici come possibile. Ciò richiede costantemente che le espressioni logiche complesse sono ridotte alle espressioni più semplici che tuttavia forniscono gli stessi risultati in tutte le circostanze possibili. L'espressione più semplice può allora essere effettuata con un più piccolo, circuito più semplice, che a sua volta conserva il prezzo dei cancelli inutili, riduce il numero di cancelli stati necessari e riduce l'alimentazione e la quantità di spazio richieste da quei cancelli.

Un attrezzo per ridurre le espressioni logiche è la matematica delle espressioni logiche, introdotta da George Boole in 1854 e conosciuta oggi come algebra booleana. Le regole di algebra booleana sono semplici e straight-forward e possono essere applicate a tutta l'espressione logica. L'espressione ridotta risultante può allora essere esaminata prontamente con una Tabella di verità, per verificare che la riduzione era valida.

Ciò ha un ruolo molto grande nell'algebra astratta. Infatti, nell'algebra astratta, l'algebra booleana è un algebrico che blocca le proprietà essenziali degli entrambi funzionamenti di funzionamento e di logica dell'insieme. Specificamente, si occupa dei funzionamenti dell'insieme dell'intersezione, dell'unione, del complemento e dei funzionamenti di logica di E, o, NON.

Come tutta la grata, un'algebra booleana (A, \, \ lor della terra) provoca un insieme parzialmente ordinato (A, ≤) definendo

un ≤ b precisamente quando a = a \ terra b

(a che è inoltre l'equivalente b = a \ lor b).

In effetti si può anche definire un'algebra booleana per essere una grata distributiva con meno elemento 0 e l'elemento più grande 1, all'interno di cui ogni elemento x ha un complemento x tali che

x \ terre x = 0 e x \ lor x = 1

Qui \ e \ lor della terra è usato per denotare il infimum (raduno) e il supremum (unir) di due elementi. Di nuovo, se i complementi nel suddetto senso esistono, allora sono determinati unicamente.

La prospettiva teoretica di ordine ed algebrica può essere usata solitamente scambievolmente ed entrambe sono utili grande importare i risultati ed i concetti sia da algebra universale che dalla teoria di ordine. In molti esempi pratici un rapporto, una congiunzione, una disgiunzione e una negazione d'ordinamento sono tutto il naturalmente disponibile, di modo che è diretto sfruttare questo rapporto. Uno può anche applicare le comprensioni generali dalla dualità nella teoria di ordine alle algebre booleane. In particolare, l'ordine doppio di ogni algebra booleana, o, equivalente, dell'algebra ottenuta dallo scambio \ dal e \ lor della terra, è inoltre un'algebra booleana. Generalmente, tutta la legge valida per le algebre booleane può essere trasformata in un'altra legge valida e doppia scambiando 0 con 1, \ con \ lor della terra e il ≤ con ≥.

I responsabili di algebra booleana possono essere rappresentati in vari sensi. Sono scritti spesso semplicemente come E, O e NON. Nella descrizione dei circuiti, il NAND (non E), NÉ (non O) e XOR possono anche essere usati. I matematici, gli assistenti tecnici e dei programmatori l'uso spesso + per O e il · per E (poiché per alcuni versi quei funzionamenti sono analogi all'aggiunta ed alla moltiplicazione in altre strutture algebriche e nelle marche di questa notazione esso molto facile ottenere la somma della forma dei prodotti per la gente che è al corrente di algebra normale) e rappresentano NON da una linea disegnata sopra l'espressione che è negata. A volte, il ~ di simbolo o! è usato per NON.

Ogni booleano algebra (A, \, \ lor della terra) provoca anello (A, +, *) da definendo a + b = () \ lor (b \ terra a) (questo funzionamento è denominato differenza simmetrica nel caso degli insiemi e XOR nel caso di logica) ed a terra \ di a b * b = a \ terra B. L'elemento zero di questo anello coincide con il 0 dell'algebra booleana; l'elemento moltiplicativo di identità dell'anello è il 1 dell'algebra booleana. Questo anello ha la proprietà che a * a = a, per tutta la a in A; gli anelli con questa proprietà sono denominati anelli del Boolean.

Per contro, se un anello booleano A è dato, possiamo trasformarli un'algebra booleana definendo la x \ lor y = x + y + di x-y e x \ terra y = di x-y. Poiché questi due funzionamenti sono inversi di a vicenda, possiamo dire che ogni anello booleano risulta da un'algebra booleana, e viceversa. Ancora, un programma f: Un → B è un omomorfismo delle algebre booleane se e soltanto se è un omomorfismo degli anelli booleani. Le categorie di anelli booleani e di algebre booleane sono equivalenti.

Un ideale dell'algebra booleana A è un sottoinsieme I tali che per tutta la x, y dentro I noi ha la x \ lor y dentro I e per tutta la a in A abbiamo la a \ terra x nel I. Questa nozione di ideale coincide con la nozione dell'anello ideale nell'anello booleano A. Una I ideale di A è denominata principale se ≠ A di I e se la a \ terra la b dentro I implica sempre la a dentro I o la b nel I. Una I ideale di A è denominata massima se ≠ A di I e se l'unica I correttamente contenente ideale è A in se. Queste nozioni coincidono con l'anello quei teoretici di ideale ideale e massimo principale nell'anello booleano A.

Il doppio di un ideale è un filtro. Un filtro dell'algebra booleana A è un sottoinsieme p tali che per tutta la x, y nella p noi ha la x \ terra y nella p e per tutta la a in A se a \ lor x = una a di allora nel P.

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