Une des exigences fondamentales quand traiter les circuits numériques est de trouver des moyens de les rendre aussi simples comme possible. Ceci exige constamment que des expressions logiques complexes soient réduites à des expressions plus simples qui néanmoins produisent les mêmes résultats dans toutes les conditions possibles. L'expression plus simple peut alors être mise en application avec un plus petit, plus simple circuit, qui alternativement sauve le prix des portes inutiles, réduit le nombre de portes requises, et réduit la puissance et la place exigées par ces portes.

Un outil pour réduire des expressions logiques est les mathématiques des expressions logiques, présentées par George Boole en 1854 et connues aujourd'hui en tant qu'algèbre booléenne. Les règles de l'algèbre booléenne sont simples et straight-forward, et peuvent être appliquées à n'importe quelle expression logique. L'expression réduite résultante peut alors être aisément examinée avec un Tableau de vérité, pour vérifier que la réduction était valide.

Ceci a un rôle très grand à jouer dans l'algèbre abstraite. En fait, dans l'algèbre abstraite, l'algèbre booléenne est une algébrique qui capture les propriétés essentielles des les deux des opérations d'opération et de logique d'ensemble. Spécifiquement, elle traite les opérations d'ensemble de l'intersection, de l'union, du complément et des opérations de logique de ET, ou, PAS.

Comme n'importe quel trellis, une algèbre booléenne (A, \, de terre \ lor) provoque un ensemble partiellement commandé (A, ≤) en définissant

un ≤ b avec précision quand a = a \ terre b

(au lequel est également l'équivalent b = a \ lor b).

En fait on peut également définir une algèbre booléenne pour être un trellis distributif avec moindre élément 0 et plus grand élément 1, dans lesquels chaque élément X a un complément X tels que

X \ terre X = 0 et x \ lor X = 1

Ici \ et de terre \ lor sont employés pour dénoter l'infimum (rassemblement) et le supremum (joindre) de deux éléments. Encore, si les compléments dans le sens ci-dessus existent, alors ils sont uniquement déterminés.

La perspective théorétique algébrique et d'ordre peut habituellement être employée l'un pour l'autre et toutes les deux sont utiles grand d'importer des résultats et des concepts d'algèbre universelle et de théorie d'ordre. Dans beaucoup d'exemples pratiques une relation, une conjonction, une disjonction, et une négation de commande sont tout le naturellement disponibles, de sorte qu'il soit franc pour exploiter ce rapport. On peut également appliquer des perspicacités générales à partir de la dualité dans la théorie d'ordre aux algèbres booléennes. En particulier, l'ordre duel de chaque algèbre booléenne, ou, d'une manière equivalente, de l'algèbre obtenue en échangeant \ et de terre \ lor, est également une algèbre booléenne. Généralement n'importe quelle loi valide pour des algèbres booléennes peut être transformée en une autre loi valide et duelle en échangeant 0 avec 1, \ avec de terre \ lor, et ≤ avec le ≥.

Les opérateurs de l'algèbre booléenne peuvent être représentés dans diverses manières. Souvent ils sont simplement écrits comme ET, OU et PAS. En décrivant des circuits, le non-et (pas ET), NI (pas OU) et le XOR peuvent également être employés. Les mathématiciens, les ingénieurs, et de programmeurs l'utilisation souvent + pour OU et le · pour ET (puisque par certains côtés ces opérations sont analogues à l'addition et à la multiplication dans d'autres structures algébriques et marques de cette notation il très facile d'obtenir la somme de la forme de produits pour les personnes qui sont au courant d'algèbre normale) et représentent PAS par une ligne tracée au-dessus de l'expression étant niée. Parfois, le ~ de symbole ou ! est employé pour PAS.

Chaque booléen algèbre (A, \, de terre \ lor) provoque anneau (A, +, *) par définissant a + b =) (d'a \ terre b \ lor (b \ terre a) (cette opération s'appelle différence symétrique dans le cas des ensembles et le XOR dans le cas de la logique) et a * b = a \ terre B. L'élément zéro de cet anneau coïncide avec le 0 de l'algèbre booléenne ; l'élément multiplicatif d'identité de l'anneau est le 1 de l'algèbre booléenne. Cet anneau a la propriété qui a * a = a, pour tout l'a dans A ; des anneaux avec cette propriété s'appellent les anneaux de Boolean.

Réciproquement, si un anneau booléen A est donné, nous pouvons le transformer en algèbre booléenne en définissant x \ lor y = x + y + de x/y et x \ terre y = de x/y. Puisque ces deux opérations sont des inverses de l'un l'autre, nous pouvons dire que chaque anneau booléen résulte d'une algèbre booléenne, et vice-versa. En outre, une carte f : Un → B est un homomorphisme des algèbres booléennes si et seulement si c'est un homomorphisme des anneaux booléens. Les catégories des anneaux booléens et des algèbres booléennes sont équivalentes.

Un idéal de l'algèbre booléenne A est un sous-ensemble I tels que pour tout le x, y dedans I nous ont x \ lor y dedans I et pour tout l'a dans A nous prenons a \ terre X dans l'I. Cette notion d'idéal coïncide avec la notion de l'anneau idéale dans l'anneau booléen A. Un I idéal d'A s'appelle principal si le ≠ A d'I et si a \ terre b dedans I implique toujours a dedans I ou b dans l'I. Un I idéal d'A s'appelle maximal si le ≠ A d'I et si le seul I contenant correctement idéal est A lui-même. Ces notions coïncident avec l'anneau le théorétique d'idéal idéal et maximal principal dans l'anneau booléen A.

Le duel d'un idéal est un filtre. Un filtre de l'algèbre booléenne A est un sous-ensemble p tels que pour tout le x, y dans p nous ont x \ terre y dans p et pour tout l'a dans A si a \ lor X = un a puis dans le P.

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