Uno de los requisitos fundamentales cuando el ocuparse de los circuitos digitales es encontrar maneras de hacerlas tan simples como sea posible. Esto requiere constantemente que las expresiones lógicas complejas estén reducidas a expresiones más simples que sin embargo produzcan los mismos resultados bajo todas las condiciones posibles. La expresión más simple se puede entonces poner en ejecución con un circuito más pequeño, más simple, que alternadamente ahorra el precio de las puertas innecesarias, reduce el número de las puertas necesitadas, y reduce la energía y la cantidad de espacio requeridas por esas puertas.

Una herramienta para reducir expresiones lógicas es las matemáticas de expresiones lógicas, introducidas por George Boole en 1854 y conocidas hoy como álgebra boleana. Las reglas de la álgebra boleana son simples y straight-forward, y se pueden aplicar a cualquier expresión lógica. La expresión reducida que resulta se puede entonces probar fácilmente con una tabla de verdad, para verificar que la reducción era válida.

Esto tiene un papel muy grande a jugar en álgebra abstracta. De hecho, en álgebra abstracta, la álgebra boleana es una algebraica que captura características esenciales de ambos las operaciones de la operación y de la lógica del sistema. Específicamente, se ocupa de las operaciones del sistema de la intersección, de la unión, del complemento y de las operaciones de la lógica de Y, o, NO.

Como cualquier enrejado, una álgebra boleana (A, \, \ lor de la tierra) da lugar a un sistema parcialmente pedido (A, ≤) definiendo

un ≤ b exacto cuando a = a \ tierra b

(a que está también el equivalente b = a \ el lor b).

De hecho uno puede también definir una álgebra boleana para ser un enrejado distributivo con menos elemento 0 y el elemento más grande 1, dentro de los cuales cada elemento x tiene un complemento x tales que

x \ tierra x = 0 y x \ lor x = 1

Aquí \ y \ lor de la tierra se utiliza para denotar el infimum (reunión) y el supremum (ensamblar) de dos elementos. Una vez más si existen los complementos en el sentido antedicho, entonces se determinan únicamente.

De la orden la perspectiva teórica algebraica y puede ser utilizada generalmente alternativamente y ambas están de gran uso de importar resultados y conceptos de la álgebra universal y de la teoría de la orden. En muchos ejemplos prácticos una relación, una conjunción, una separación, y una negación que ordenan están todo el naturalmente disponibles, de modo que sea directo explotar esta relación. Uno puede también aplicar penetraciones generales de dualidad en teoría de la orden a las álgebra boleanas. Especialmente, la orden dual de cada álgebra boleana, o, equivalente, de la álgebra obtenida por el cambio \ y \ lor de la tierra, es también una álgebra boleana. Cualquier ley válida para las álgebra boleanas se puede transformar generalmente en otra ley válida, dual intercambiando 0 por 1, \ con \ lor de la tierra, y el ≤ con el ≥.

Los operadores de la álgebra boleana pueden ser representados de varias maneras. Os escriben a menudo simplemente como Y, O y NO. En describir los circuitos, el NAND (no Y), NI (no O) y XOR pueden también ser utilizados. Los matemáticos, los ingenieros, y de los programadores el uso a menudo + para O y el · para Y (puesto que en cierto modo esas operaciones son análogas a la adición y a la multiplicación en otras estructuras algebraicas y marcas de esta notación él muy fácil conseguir la suma de la forma de los productos para la gente que está al corriente de álgebra normal) y representan NO por una línea dibujada sobre la expresión que es negada. ¡A veces, el ~ del símbolo o! se utiliza para NO.

Cada boleano álgebra (A, \, \ lor de la tierra) da lugar anillo (A, +, *) por definiendo a + b = () \ lor (b \ tierra a) (esta operación se llama diferencia simétrica en el caso de sistemas y XOR en el caso de lógica) y a de a \ de la tierra b * b = a \ tierra B. El elemento cero de este anillo coincide con el 0 de la álgebra boleana; el elemento multiplicative de la identidad del anillo es el 1 de la álgebra boleana. Este anillo tiene la característica que a * a = a, para toda la a en A; los anillos con esta característica se llaman los anillos Boolean.

Inversamente, si se da un anillo boleano A, podemos darte vuelta en una álgebra boleana definiendo x \ lor y = x + y + xy y x \ tierra y = xy. Puesto que estas dos operaciones son lo contrario de uno a, podemos decir que cada anillo boleano se presenta de una álgebra boleana, y viceversa. Además, un mapa f: Un → B es un homomorfismo de álgebra boleanas si y solamente si es un homomorfismo de anillos boleanos. Las categorías de anillos boleanos y de álgebra boleanas son equivalentes.

Un ideal de la álgebra boleana A es un subconjunto I tales que para todo el x, y adentro I nosotros tiene x \ lor y adentro I y para toda la a en A tenemos a \ tierra x en el I. Esta noción de ideal coincide con la noción del anillo ideal en el anillo boleano A. Un I ideal de A se llama primero si el ≠ A de I y si a \ la tierra b adentro I implica siempre a adentro I o b en el I. Un I ideal de A se llama máximo si el ≠ A de I y si el único I correctamente que contiene ideal es A sí mismo. Estas nociones coinciden con el anillo los teóricos de ideal ideal y máximo primero en el anillo boleano A.

El dual de un ideal es un filtro. Un filtro de la álgebra boleana A es un subconjunto p tales que para todo el x, y en p nosotros tiene x \ tierra y en p y para toda la a en A si a \ el lor x = una a de entonces en el P.

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