Uma das exigências preliminares quando tratar dos circuitos digitais for encontrar maneiras as fazer tão simples como possível. Isto requer constantemente que as expressões lógicas complexas estejam reduzidas a umas expressões mais simples que não obstante produzam os mesmos resultados sob todas as circunstâncias possíveis. A expressão mais simples pode então ser executada com um circuito menor, mais simples, que por sua vez conserve o preço das portas desnecessárias, reduza o número das portas necessitadas, e reduza o poder e a quantidade de espaço requeridos por aquelas portas.

Uma ferramenta para reduzir expressões lógicas é a matemática de expressões lógicas, introduzida por George Boole em 1854 e sabida hoje como a álgebra booleana. As réguas da álgebra booleana são simples e straight-forward, e podem ser aplicadas a toda a expressão lógica. A expressão reduzida resultante pode então prontamente ser testada com uma tabela de verdade, para verificar que a redução era válida.

Isto tem um papel muito grande a jogar na álgebra abstrata. No fato, na álgebra abstrata, a álgebra booleana é uma algébrica que capture propriedades essenciais dos ambos operações da operação e da lógica do jogo. Especificamente, trata das operações do jogo da interseção, da união, do complemento e das operações da lógica de E, ou, NÃO.

Como todo o lattice, uma álgebra booleana (A, \, da terra \ lor) causa um jogo parcialmente requisitado (A, ≤) definindo

um ≤ b precisamente quando a = a \ terra b

(a que é também o equivalente b = a \ lor b).

No fato se pode também definir uma álgebra booleana para ser um lattice distributive com menos elemento 0 e elemento o mais grande 1, dentro de que cada elemento x tem um complemento x tais que

x \ terra x = 0 e x \ lor x = 1

Aqui \ e da terra \ lor é usado denotar o infimum (reunião) e o supremum (juntar) de dois elementos. Outra vez, se os complementos no sentido acima existirem, são determinados então excepcionalmente.

O perspective theoretic algébrico e da ordem pode geralmente ser usado permutavelmente e ambos são do uso grande importar resultados e conceitos da álgebra universal e da teoria da ordem. Em muitos exemplos práticos uma relação, uma junção, uma disjunção, e uma negação requisitando estão todo o naturalmente disponíveis, de modo que seja direto explorar este relacionamento. Um pode também aplicar introspecções gerais do duality em a teoria de ordem às álgebras booleanas. Especialmente, a ordem dupla de cada álgebra booleana, ou, equivalente, da álgebra obtida trocando \ e da terra \ lor, é também uma álgebra booleana. No general, toda a lei válida para álgebras booleanas pode ser transformada em uma outra lei válida, dupla trocando 0 com o 1, \ com da terra \ lor, e ≤ com ≥.

Os operadores da álgebra booleana podem ser representados em várias maneiras. São escritos frequentemente simplesmente como E, OU e NÃO. Em descrever circuitos, o NAND (não E), NEM (não OU) e XOR podem também ser usados. Os matemáticos, os coordenadores, e dos programadores o uso frequentemente + para OU e o · para E (desde que em algumas maneiras aquelas operações são analogous à adição e à multiplicação em outras estruturas algébricas e em makes desta notação ele muito fácil de começar a soma do formulário dos produtos para os povos que são familiares com a álgebra normal) e representam NÃO por uma linha extraída acima da expressão que está sendo negada. Às vezes, o ~ do símbolo ou! é usado para NÃO.

Cada booleano álgebra (A, \, da terra \ lor) causa anel (A, +, *) por definindo a + b = () de a \ terra b \ lor (b \ terra a) (esta operação é chamada diferença symmetric na caixa dos jogos e XOR no exemplo da lógica) e a * b = a \ terra B. O elemento zero deste anel coincide com a 0 da álgebra booleana; o elemento multiplicative da identidade do anel é a 1 da álgebra booleana. Este anel tem a propriedade que a * a = a, para todo o a em A; os anéis com esta propriedade são chamados anéis de Booleano.

Inversamente, se um anel booleano A for dado, nós podemos girá-lo em uma álgebra booleana definindo x \ lor y = x + y + xy e x \ terra y = xy. Desde que estas duas operações são inverses de se, nós podemos dizer que cada anel booleano se levanta de uma álgebra booleana, e versa vice. Além disso, um mapa f: Um → B é um homomorphism de álgebras booleanas se e somente se é um homomorphism de anéis booleanos. As categorias de anéis booleanos e de álgebras booleanas são equivalentes.

Um ideal da álgebra booleana A é um subconjunto I tais que para todo o x, y dentro I nós tem x \ lor y dentro I e para todo o a em A nós temos a \ terra x no I. Esta noção de ideal coincide com a noção do anel ideal no anel booleano A. Um I ideal de A está chamado principal se o ≠ A de I e se a \ terra b dentro I implicarem sempre a dentro I ou b no I. Um I ideal de A está chamado máximo se o ≠ A de I e se o único I corretamente contendo ideal for A próprio. Estas noções coincidem com o anel os theoretic de ideal ideal e máximo principal no anel booleano A.

O duplo de um ideal é um filtro. Um filtro da álgebra booleana A é um subconjunto p tais que para todo o x, y em p nós tem x \ terra y em p e para todo o a em A se a \ lor x = um a de então no P.

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